| Главная » Файлы » Доклады » Доклады |
Використання віконної обробки при гармонійному аналізі сигналів методом ДПФ
| [ Скачать с сервера (1.47 Mb) ] | 12.02.2018, 23:42 |
| 1. Загальні поняття про гармонійну обробку При обробці сигналів доводиться вирішувати задачі двох типів — задачу виявлення і оцінювання. При виявленні потрібно дати відповідь на питання, чи спостерігається зараз деякий сигнал з апріорно відомими параметрами. Оцінювання - це задача вимірювання значень параметрів, що описують сигнал. Реальний сигнал є зачумленим: на нього накладаються інші сигнали. Тому для спрощення розв’язання вказаних задач сигнал звичайно розкладають по базисних складових. Для багатьох додатків найбільший інтерес представляють періодичні сигнали. Цілком природно, що рішення задач виявлення і оцінювання подібних сигналів пов'язано з їх розкладанням по базису, що складається з простих періодичних функцій sin і cos. Таке розкладання можна виконати за допомогою класичного перетворення Фур’є. Необхідно пам’ятати, що при реалізації такого перетворенню вважається, що кожний оброблюваний сигнал повинен мати кінцеву тривалість. Тривалість сигналу можна, зрозуміло, міняти і регулювати, але вона обов'язково повинна бути кінцевою. При обробці сигналів кінцевої тривалості виникають цікаві і взаємозалежні питання, які необхідно враховувати в ході гармонійного аналізу. Кінець інтервалу спостереження впливає _на знаходження тонів у присутності близьких сильних тонів, на знаходження тонів змінної частоти і на точність оцінок параметрів всіх вищезазначених сигналів. На практиці оброблюваний масив даних складається з N еквідістантних відліків прийнятого сигналу. Для зручності будемо вважати, що N - парне складове число. Гармонійні оцінки одержувані за допомогою дискретного перетворення Фур’є (ДПФ), — це N еквідістантних відліків відповідних періодичних спектрів. Такий підхід математично витончений і привабливий, коли схема _обробки сигналу реалізується як спектральне розкладання в N-мірному ортогональному векторному просторі. На жаль, на практиці для отримання задовільних результатів часто доводиться жертвувати цією витонченістю. Один з неминучих в таких випадках компромісів пов'язаний з тим, що послідовність відліків сигналу доводиться множити на вагові функції (вікна) або, що еквівалентно, згладжувати спектральні відліки. Таким чином, дані звичайно піддаються двом виконуваним в довільному порядку операціям дискретизації і згладжуванню за допомогою вікон. Що таке дискретизація і згладжування даних за допомогою вікон, достатньо добре знають всі, а ось що таке дискретні вікна для ДПФ, відомо лише небагатьом! Тому ми і звернемося до чинників, що визначають вибір вікон для гармонійного аналізу, надавши особливу увагу дискретним вікнам, використовуваним при ДПФ. 2. Гармонійний аналіз кінцевих масивів даних і ДПФ Гармонійний аналіз кінцевих послідовностей даних пов'язаний із задачею проекції спостережуваного сигналу на базисні вектори, на які накладається інтервал спостереження. Введемо позначення, які знадобляться нам в наступних розділах. Нехай Т (сек) – часовий інтервал, NT (сек) – інтервал часу спостереження. Синуси і косинуси з періодами, Рис 1. N відліки парної функції на інтервалі NT секунд кратними інтервалу NT, утворюють ортогональний базис для безперервних сигналів тривалістю NТ. Базисні функції визначаються як (1) Зауважимо, що, припустивши набір базисних функцій з впорядкованим індексом k, ми тим самим визначили спектр сигналу над лінією, званою частотною віссю, з якого далі виводяться поняття ширини смуги частот і частот, близьких і далеких від даної частоти (ці поняття пов'язані з роздільною здатністю). Для дискретизованих сигналів базис, що стягує інтервал NT, ідентичний послідовності еквідістантних відліків векторів відповідного безперервного базису з індексами від 0 до N/2: (2) Відзначимо, що тригонометричні функції унікальні в тому відношенні, що послідовності їх еквідістантних відліків (на інтервалі, рівному цілому числу періодів) взаємно ортогональні. Еквідістантні відліки довільних ортогональних функцій не утворюють ортогональних послідовностей. Відзначимо також, що часовий інтервал, займаний N відліками, узятими через Т секунд, нерівний NT секундам. Це легко зрозуміти, якщо врахувати той факт, що інтервал, на якому беруться відліки, замкнутий зліва і відкритий справа (тобто [—)). Рис. 1 ілюструє цю обставину на прикладі дискретизації парної щодо центру інтервалу функції тривалістю NТ сек. Оскільки для ДПФ потрібна періодичність ряду, опущену останню точку послідовності можна вважати початковою точкою наступного періоду періодичного продовження цієї послідовності. Дійсно, при періодичному, продовженні наступний відлік (на 16-й секунді на рис. 1) не відрізняється від відліку в нульовий момент часу. Вказане порушення симетрії через відсутню кінцеву точку є постійним джерелом помилок при виборі типу вживаного вікна. Ці помилки сходять до ранніх робіт, присвячених збіжності часткових сум рядів Фур’є. Часткові суми (або кінцеве перетворення Фур’є) завжди мають непарне число членів і володіють парною симетрією щодо початкової точки. Тому в бібліотеки стандартних програм включені вікна, що володіють істинною парною симетрією, а не симетрією з опущеною кінцевою точкою! При обчисленні ДПФ дискретних даних слід пам’ятати, що парна симетрія означає, що проекція сигналу на послідовність відліків синуса тотожно рівна нулю. Але це ні в якому разі не означає, що числа відліків, розташованих справа і зліва від середньої точки, обов'язково рівні один одному. Щоб відрізняти цю симетрію від звичайної парності, будемо називати звичайну парну послідовність з опущеною крайньою правою точкою ДПФ-парною. Іншим прикладом ДПФ-парної послідовності є послідовність відліків періодично продовженої трикутної хвилі (рис. 2). Рис. 2. Парна послідовність і її періодичне продовження при обчисленні ДПФ Якщо обчислити кінцеве перетворення Фур’є ДПФ-парної послідовності (рахуючи відлік в точці +N/2 рівним 0), то отримана безперервна періодична функція буде мати ненульову уявну компоненту. ДПФ тій же самій послідовності - це не що інше, як ряд відліків кінцевого перетворення Фур’є, проте уявна компоненту цих відліків тотожно рівна нулю. В чому причина цієї невідповідності? Не треба забувати, що відсутність в ДПФ-парному ряді кінцевої точки приводить до появи в кінцевому перетворенні уявної синусоїдальній компоненти з періодом 22π/(N/2) (відповідної непарному члену послідовності з номером N/2). Проте відліки ДПФ беруться в точках, кратних 22 π /N, які, звичайно, відповідають нулям уявної синусоїдальній компоненти. Приклад такої вдалої дискретизації показаний на мал. 3. Відзначимо, що послідовність f(n) розбита на парну і непарну частини. Непарна частина і обумовлює появу уявній синусоїдальній компоненти в кінцевому перетворенні. | |
| Просмотров: 378 | Загрузок: 8 | Рейтинг: 0.0/0 | |
| Всего комментариев: 0 | |