| Главная » Файлы » Доклады » Доклады |
Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття.
| [ Скачать с сервера (611.5 Kb) ] | 13.02.2018, 23:42 |
| Теорія ймовірностей – це математична наука, яка вивчає закономірності випадкових явищ. Варто відзначити, що математичний підхід до вивчення випадкових явищ намагалися знайти ще в стародавньому Китаї, Римі, Греції. В середні віки намагалися застосувати точні методи в задачах, пов’язаних з азартними іграми. Проте початки теорії ймовірностей як математичної науки були закладені в XVII ст. в працях Б.Паскаля, П.Ферма, Х.Гюйгенса, Я. Бернуллі. Пізніше, у XVIII-XIXст. розвиток теорії ймовірностей був викликаний задачами теорії стрільби, теорії похибок, проблемами демографії, тощо. Значного розвитку теорія ймовірностей досягла в XIX-XX ст .завдяки працям А.Муавра, П.Лапласа, К.Гаусса, С.Пуассона, П.Чебишова, А.Маркова, А.Колмогорова та інших вчених. В наш час методи теорії ймовірностей широко застосовуються в теорії надійності, теорії масового обслуговування, теорії інформації, статистичній фізиці, математичній статистиці та інших галузях знань. Основними поняттями теорії ймовірностей є поняття: - стохастичного експерименту, - випадкової події, - ймовірності випадкової події. Стохастичним називається експеримент, результат якого не можна передбачити наперед. Стохастичниму експерименту ставиться у відповідність деяка множина , точки (елементи) якої відображають найбільш повну інформацію про можливі результати цього експерименту. Множина називається простором елементарних подій, а її точки (елементи) - елементарними подіями. Множина може бути дискретною (скінченною або зчисленною) або неперервною. Приклад 1. Проводиться стохастичний експеримент – монету підкидають один раз. Очевидно, результатом цього експерименту будуть дві елементарні події: поява герба “Г”, або поява цифри “Ц”. Отже, тут простір елементарних подій ={Г, Ц}. Приклад 2. Проводиться стохастичний експеримент – монету підкидають два рази. Очевидно, що ={ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ}. Приклад 3. Проводиться стохастичний експеримент – гральний кубик підкидають один раз. Результатом цього експерименту є простір елементарних подій ={ }, де - елементарна подія: “кількість очок на верхній грані кубика”. У наведених прикладах простір є скінченною множиною. Проте в багатьох задачах доводиться мати справу з експериментами, які мають нескінченну кількість можливих наслідків. Проводячи експеримент, нас буде цікавити не те , який конкретно наслідок матиме місце в результаті спроби, а лише те, чи буде належати цей наслідок тій чи іншій множині всіх наслідків, можливих в результаті проведення даного експерименту. 1.1. Класифікація подій та дії над ними. Підмножини , для яких за умовами експерименту можлива відповідь одного з двох типів: “наслідок “ або “наслідок ” називаються випадковими подіями. Зокрема, в прикладі 2 подія А : “герб з’явиться принаймні один раз”. Підмножина А={ГГ, ГЦ, ЦГ} містить три елементи з множини , тобто подія А складається з трьох елементарних подій. В прикладі 3 подія А: “при підкиданні кубика випаде парне число очок” – А={ }. Як бачимо, випадкова подія є підмножиною А простору елементарних подій . Множина , яка трактується як подія, характерна тим, що в результаті експерименту вона обов’язково відбувається при виконанні певної сукупності умов, називається вірогідною подією. Підмножиною довільної множини вважається порожня множина Ø, яка не містить жодної точки з , тобто така подія в експерименті не відбувається , вона називається неможливою подією і позначається Ø. Подія (читається “не А”) називається протилежною події А. Якщо в прикладі 1 подія А – поява герба, то подія - поява цифри. Нехай А і В – випадкові події. Якщо А В (тобто кожний елемент А міститься в В), то це означає, що подія А тягне за собою подію В. Іншими словами, якщо подія А відбувається, то подія В теж відбувається, тобто подія В є наслідком події А. Якщо А В і В А, то події А і В називаються рівносильними (еквівалентними): А=В. Об’єднанням (сумою) двох подій А і В називається подія А В (або А+В), яка полягає в тому, що відбулася принаймні одна з подій А або В. Перетином (суміщенням або добутком) двох подій називається подія А (або А·В), яка полягає в тому, що відбулася і подія А і подія В. Різницею А\В називається подія, яка полягає в тому, що відбулася подія А, а В не відбулася. Доповнення множини А позначається = \А, де - подія, протилежна події А. Операції над подіями зручно ілюструвати з допомогою діаграм Ейлера-В’єнна. Події А і В називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появу іншої, тобто А В Ø. Наприклад, нехай подія А: “поява туза при вийманні карти з однієї колоди”, подія В: “поява туза при вийманні карти з іншої колоди”. Ці події сумісні. Події А і В називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу іншої, тобто А В= Ø. Наприклад, нехай подія А: “неробочий хід генератора”, подія В: “коротке замикання генератора”. Ці події несумісні. Події називаються попарно несумісними, якщо Ø ( ). Повною групою несумісних подій називається сукупність (скінченна або нескінченна) попарно несумісних подій, причому в результаті експерименту з’явиться тільки одна з цих подій, тобто = Ø ( ), . Пара взаємно протилежних подій і утворює повну групу подій. Дійсно, = Ø, . Операції об’єднання і перетину подій мають очевидні властивості: . комутативність , А В=В А; . асоціативність , (А В) С=А (В С); . дистрибутивність , . 1.2. Частота випадкової події. Розглянемо деякий стохастичний експеримент, який можна повторити скільки завгодно разів, і подію А, яка спостерігається в цьому експерименті. Нехай ми повторили експеримент n разів, і - число спроб, в яких відбулася подія А. Відношення називається частотою події А в даній серії експериментів. Частота має такі властивості: . . . . (Ø)=0. . , де А, В – дві несумісні події. Частота може бути обчислена після того, як проведена серія експериментів. Якщо проведемо іншу серію експериментів, або збільшимо n, то частота, взагалі кажучи, зміниться. | |
| Просмотров: 441 | Загрузок: 10 | Рейтинг: 0.0/0 | |
| Всего комментариев: 0 | |